Problema D1

Una macchina termica funziona secondo un ciclo Otto, ed è caratterizzata da un rapporto volumetrico di compressione (r) pari a 8. L'aria entra nel cilindro alla temperatura di 300 K e alla pressione di 1 bar. Ipotizzando che il ciclo sia ad aria standard, e sapendo che il lavoro ottenuto in fase di espansione è pari a 500 kJ/kg, determinare la temperatura massima che viene raggiunta nel ciclo, la quantità di calore che è necessario somministrare, e il rendimento termico del ciclo.

Soluzione

Secondo le ipotesi di ciclo ad aria standard si assumeranno per l'aria valori costanti di c_p e c_v, e pari a:
c_p = 1.005 kJ/kg.K; c_v = 0.718 kJ/kJ.K, per cui k = 1.4

Applicando il 1° PTD per i sistemi chiusi alla trasformazione 3-4 si ha, essendo il processo adiabatico q₃₄ = 0, pertanto:
-l₃₄ = u₄ - u₃ ovvero, essendo l_u = l₃₄, segue che
 l_u = u₃ - u₄ = c_v(T₃ - T₄)   [1]
poichè la trasformazione è una espansione adiabatica reversibile, l'equazione della trasformazione sarà una politropica ad indice k, per cui:
T₃v₃^k-1 = T₄v₄^k-1 e quindi T₄ = T₃ (v₃/v₄)^k-1 = T₃/(r^k-1)
sostituendo T₄ nella [1] si ha infine:
l_u =  c_vT₃(1 - 1/r^k-1 ),
da cui:
T₃ = l_u / [c_v(1 - 1/r^k-1 )] = 500/[0.718(1-1/8^0.4)] = 1233.1 K

L'applicazione del 1° PTD per i sistemi chiusi alla trasformazione 2-3, in cui vi è solo somministrazione di calore ci permette di ricavare:
q_e = q₂₃ = u₃ - u₂ = c_v(T₃ - T₂)
ancora una volta T₂ può essere ricavato tenendo conto che la trasformazione 1-2 è una compressione adiabatica reversibile, per cui segue una politropica ad indice k, e quindi:
T₁v₁^k-1 = T₂v₂^k-1 e quindi
T₂ = T₁ (v₁/v₁)^k-1 = T₁r^k-1= 300*8^0.4 = 689.2 K
pertanto
q_e = 0.718(1233.1 - 689.2) = 390.5 kJ/kg

Infine per calcolare il rendimento è necessario applicare la definizione secondo cui:
h = l_u,n/q_e = (l_u - l_e)/q_e
per determinare le è sufficiente applicare l'equazione del 1° PTD alla trasformazione 1-2, da cui deriva:
l_e = l₁₂ = c_v(T₂ - T₁) = 0.718(689.2 - 300) = 279.4 kJ/kg,
e quindi
h = (500 - 279.4)/390.5 = 56.48%

A tale relazione si poteva arrivare applicando direttamente la relazione teorica:
h = 1 - 1/r^k-1